꼭 그런건 아닙니다,
전화를 아무리 걸어봐야, 수신측에서 받지 않으면 통화가 되지 않듯이,
서버에서 push 메세지를 보내는 것을 구현한것과 동시에 ,
폰에서 이 메세지를 읽어 갈 수 있는 부분을 구현해 줘야 합니다.
FCM 같은건 구글 playstore 쪽의 자체 service 가 동작하고 있다가, 푸시 메세지를 받아와서 어플로 notify 시켜 주기 때문에 폰에서 push 메세지를 받는 부분을 따로 구현 할 필요가 없습니다.
하지만 자체 개발 push 서버의 경우 이게 어렵기 때문에 폰에서 listen 서버를 service로 띄워, 생성하신 서버의 push 메세지가 전송 될 경우 받아 처리하던지, 옵져버 패턴으로 push 메세지를 받아 처리를 하는 부분을 만들어 주셔야 push 처리를 할 수 있습니다.
하지만, 여러 예외 사항에 대해 대응이 간단하지 않기 때문에, 꼭 필요한 사항이 아니라면 FCM을 이용하시는게 좋으실 듯 합니다.