1) 안드로이드에서 기본적으로 제공되는 CalendarView 를 사용하시는게 좋을 듯 하며,
원하는 기능이 이 걸로 힘들면 git hub에 있는 외부 라이브러리를 사용하시는게 좋을 듯 합니다.
2) 단말에 저장할 수도 있고 서버로 저장할 수도 있습니다만.
안드로이드로는 처음 개발이니 우선 단말에 저장하고, 추후 서버로 저장하는 기능을 추가하시는게 좋을 듯 합니다.