Activity에서 생성한 값이라면,
AsyncTask 수행이 끝나면 boolean flag를 설정하고,
특정 public method를 만들면
예를들어 getValueOfAsyncTask() 를 public으로 선언했다면,
하위 Fragment에서 ((MainActivity)getActivity()).getValueOfAsyncTask() 로 가져오면 됩니다.
그외에는
SharedPreference로 값을 세팅하고, 가져오거나
부모 Activity와 Fragment간이나, 같은 부모의 Fragment끼리는 ViewModel의 MutableLiveData 같은 걸로 접근하면 되지 않을까 싶네요.
다만, Async가 수행중일때는 어떻게 처리할 지 혹은 Async의 상태를 보는 Method나 변수를 추가하던지 해서 처리해야 할 겁니다.