해당 기능은 서버가 없으면 안될 것 같은데요. 사용자가 어떤 키워드를 입력했는지 저장을 해서 게시물이 입력되면 키워드랑 비교를 해야하기 때문에, 서버가 있어야만 기능을 구현할 수 있을 듯 합니다. Firebase에 서버쪽 코드를 바로 릴리즈할 수 있는 Cloud function이라는 서비스가 있는데, 이걸 한번 살펴보시구요, 이게 아니라면 AWS, Azure 등의 클라우드 서비스같은 걸 이용해서 직접 구축을 하시거나 해야겠죠?
서버는 구축하기 싫고 유료 솔루션을 사용해도 된다면 Braze같은 프레임워크를 사용해서 사용자로부터 이벤트를 받아서 푸시를 보내줄 수도 있구요. 그런데, 어떤 거든지 백엔드쪽에 코드가 필요한 사항입니다.
