Adapter에 변경된 아이템을 전달해서 처리하셔야 할 것 같은데요. 더 좋은 방법이 있는지는 모르겠네요.
https://developer.android.com/reference/android/widget/ArrayAdapter
adapter.setNotifyOnChange(true); // Adapte 초기화시에 한번만 호출.
// 어댑터의 모든 아이템을 삭제하고 업데이트된 아이템을 설정.
adapter.clear();
adapter.addAll(newItems);
// OR
// 업데이트하고 싶은 아이템만 삭제한 후 다시 추가
adapter.remove(itemToDelete);
adapter.insert(0, updatedItem);