Interface 를 사용하는 방법이 잘 못 된 것 같아요. 인라인 클래스에 interface를 구현할 수는 없고 별도의 클래스로 만드셔야 해요. 아래처럼 new BaseAdapter 를 Android Studio 의 Refactor메뉴를 통해 별도의 클래스로 분리하세요. (BaseAdapter를 선택한 후 마우스 오른쪽 클릭)

클래스 이름 물어보는 Dialog가 나오면 적절한 클래스명을 주세요. 저는 MyAdapter라고 하겠습니다. 아래처럼 static inner class가 만들어질 겁니다.
private static class MyAdapter extends BaseAdapter {
...
}
MyAdapter에 Filterable interface를 추가하세요.
private static class MyAdapter extends BaseAdapter implements Filterable {
...
}
여기서 다시 Android Studio의 메뉴를 통해 구현할 메소드를 추가합니다.


이렇게 하면 아래처럼 Filterable의 메소드가 자동 추가됩니다.
private static class MyAdapter extends BaseAdapter implements Filterable {
...
@Override
public Filter getFilter() {
return null;
}
}
참고로, 자바 class와 interface에 사용에 대한 기본적인 내용이므로 보고 지나가시는게 좋을 것 같아요. 그리고 뷰 재사용성등의 이유로 개발자들이 ListView에서 RecyclerView로 넘어간지가 몇 년되었습니다. 가능하면 RecyclerView로 바꾸시는길 권장드려요. 그게 유지보수에 용이할 것 같아요.