아래 링크들이 원하시는 내용인지 확인해 보세요.백그라운드에서 액티비티를 띄우는 방법은: https://www.masterqna.com/android/98927/%EC%95%88%EB%93%9C%EB%A1%9C%EC%9D%B4%EB%93%9C-foreground%EC%9D%98-%EC%A0%81%EC%9A%A9-%EB%B0%A9%EB%B2%95%EC%9D%84-%EB%AA%A8%EB%A5%B4%EA%B2%A0%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4
그리고 lock screen 관련해서는 Dialog에 아래 플래그를 사용하면 된다고 하네요.
getWindow().addFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_SHOW_WHEN_LOCKED)
https://stackoverflow.com/questions/4116001/android-lock-screen-widget