거리 때문에 공유기로는 통신이 불가능해서 휴대폰의 인터넷 망을 통해서 제어기를 다루겠다는 뜻이신가 봅니다.
그렇다면 제가 보기에는 파이어베이스와는 별로 관련이 없을 것 같습니다.
휴대폰 인터넷 망에서 공유기를 찾을 수 있게 한다면, 현재 사용하고 있는 소켓 통신으로도 제어할 수 있을 것 같습니다.
공유기가 공인 IP를 갖게 하면 휴대폰 인터넷 망에서 공유기를 찾을 수 있을 것입니다.
공유기가 방화벽이나 게이트웨이 안 쪽에 있어서 사설 IP를 가지고 있다면, 방화벽이나 게이트웨이에서 제어기가 사용하는 포트를 포트포워딩해 주면 될 것 같습니다.
랄라룽님의 상황을 정확히 이해 못해서 이 정도 답을 달아 봅니다.