https://developer.android.com/reference/android/webkit/WebViewClient.html 에 보시면, 상황에 맞게 사용하시면 될 것 같습니다.
예로, 아래의 메서드는 웹 페이지 로딩이 완료된 후에 호출이 됩니다.
onPageFinished(WebView view, String url)
그리고, shouldOverrideUrlLoading 메서드의 deprecated 이슈는.. 24버전 부터는 shouldOverrideUrlLoading(WebView view, WebResourceRequest request) 를 사용하도록 구현하시면 됩니다.